x geq -2 के लिए f(x) = int_{-2}^{x} t cdot g' | vedclass

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Question

(C) कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करते हुए,हम $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:$f'(x) = \frac{d}{dx} \int_{-2}^{x} t \cdot g'(t) \, dt = x \cdo

Vedclass · Accepted Answer

$f(x)$,$x > 0$ के लिए वर्धमान है और $x \in [-2, 0)$ के लिए ह्रासमान है।

Vedclass · Answer

(C) कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करते हुए,हम $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:$f'(x) = \frac{d}{dx} \int_{-2}^{x} t \cdot g'(t) \, dt = x \cdot g'(x)$चूँकि $g$ एक वर्धमान फलन है,इसलिए सभी $x \geq -2$ के लिए $g'(x) \geq 0$ है।अब,$f'(x) = x \cdot g'(x)$ के चिह्न का विश्लेषण करते हैं:$1$. $x \in [-2, 0)$ के लिए,$x $2$. $x > 0$ के लिए,$x > 0$ और $g'(x) \geq 0$,इसलिए $f'(x) \geq 0$ है। अतः,$f(x)$,$(0, \infty)$ पर एक वर्धमान फलन है।इसलिए,$f(x)$,$x \in [-2, 0)$ के लिए ह्रासमान है और $x > 0$ के लिए वर्धमान है।

$x \geq -2$ के लिए $f(x) = \int_{-2}^{x} t \cdot g'(t) \, dt$ दिया गया है,जहाँ $g$ एक वर्धमान फलन है,तो:

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सिद्ध कीजिए कि $f(x) = \sin x$ द्वारा प्रदत्त फलन $(0, \pi)$ में न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान।

वह अंतराल ज्ञात कीजिए जिसमें फलन $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-36x+7$ द्वारा प्रदत्त फलन:
$(a)$ वर्धमान है
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$x > 0$ के लिए फलन $f(x) = x^x$ किस अंतराल में निरंतर वर्धमान है?

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